Usare NonEuclid: il mio primo triangolo!

NonEuclid permette di studiare due modelli di geometria iperbolica piana noti rispettivamente come modello del disco e modello del semipiano di Poincaré. Iniziamo lo studio esplorando il modello del disco. La grande circonferenza che compare all'avvio di NonEuclid è detta circonferenza limite. Essa delimita l'area dello schermo in cui si possono eseguire costruzioni geometriche e individua l'intero piano iperbolico.

Il triangolo iperbolico di figura sembra curvilineo. In realtà, dal punto di vista della geometria iperbolica, i suoi lati sono tutti segmenti! Se consideriamo le rette della geometria iperbolica da un punto di vista euclideo esse ci appaiono come archi di circonferenza. Tuttavia, per un immaginario abitante del piano iperbolico, tutte le "rette" della nostra simulazione apparirebbero rette a tutti gli effetti.

Il triangolo iperbolico di figura si costruisce eseguendo i seguenti passaggi:

Seleziona l'opzione "Segmento" dal menu "Costruzioni".

Sposta il mouse all'interno della circonferenza limite.

Clicca con il mouse in qualche punto interno alla circonferenza limite. In tal modo viene rappresentato sullo schermo il punto A.

Clicca con il mouse in un secondo punto interno alla circonferenza limite. In tal modo compare sullo schermo il punto B e viene disegnato il segmento iperbolico che congiunge A con B.

Clicca con il mouse in corrispondenza del punto B.

Clicca con il mouse in un terzo punto interno alla circonferenza limite. In tal modo viene rappresentato sullo schermo il punto C e viene disegnato il segmento iperbolico che congiunge B con C.

Clicca con il mouse in corrispondenza dei punti C e A. In tal modo viene disegnato il segmento iperbolico che congiunge C con A e il nostro primo triangolo iperbolico è fatto.
A questo punto, aprendo il Menu "Misure" e selezionando l'opzione "Misura Triangolo" è possibile ottenere le lunghezze dei lati del triangolo e le misure dei suoi angoli interni. Osserviamo che la somma dei tre angoli interni del triangolo è MINORE DI 180°.

Esercizi:

Ora che siamo riusciti a costruire e a misurare un triangolo è necessario familiarizzare con questo nuovo tipo di strana geometria. Come esercizio possiamo costruire molti segmenti iperbolici. Alcuni di essi appariranno, in senso euclideo, curvi altri quasi rettilinei. Sei in grado di indovinare, in relazione alla scelta dei punti, quali segmenti appariranno più o meno curvi? Dopo aver tracciato molte rette iperboliche sai dire se esse hanno curvatura maggiore verso il centro del disco o verso la periferia? Dati due punti cerca di predire la forma della retta iperbolica passante per essi.

Un modo intelligente di utilizzare NonEuclid consiste nel prendere il tuo libro di Geometria di scuola e di aprirlo al capitolo riguardante le costruzioni con riga e compasso provando a riprodurre le costruzioni. Alcune riusciranno perfettamente anche in questo nuovo ambiente geometrico mentre altre no. Sai spiegare le ragioni di questo fatto?

Ripetere gli esercizi precedenti nel modello del semipiano che si attiva aprendo il Menu "Visualizza", selezionando "Modelli" e scegliendo l'opzione "Semipiano".

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