Attività - L'esplorazione inizia!

Contenuti:

• Esempio (Angoli Adiacenti)
• Angoli
• Triangoli
• Triangolo Isoscele
• Triangolo Equilatero
• Triangolo Rettangolo
• Triangoli Congruenti
• Rettangolo e Quadrato
• Parallelogramma
• Rombo
• Poligoni
• Circonferenza
• Tassellazioni

Uno degli esercizi di maggiore interesse da svolgere con NonEuclid consiste nel partire da alcuni enunciati di teoremi validi in geometria euclidea e di vedere quali di questi enunciati rimangono validi anche in geometria iperbolica. Ad esempio, in geometria euclidea, vale il seguente:

Teorema:

Per vedere se questo teorema rimane valido anche in geometria iperbolica proviamo in primo luogo a cercare un suo contro esempio, ossia un esempio in cui, nelle ipotesi fatte, la somma di angoli adiacenti NON vale 180°. Nel caso in cui si riesca a trovare un contro esempio avremo la certezza del fatto che il teorema non potrà in alcun modo essere valido in geometria iperbolica.
A questo scopo costruiamo a caso tre o quattro coppie di rette iperboliche incidenti. Quindi determiniamo il punto di intersezione di ogni coppia di rette. Abbiamo due modi per determinare l'intersezione di due rette. Nel primo modo, molto impreciso, apriamo il menu "Costruzioni" e azioniamo il comando "Punto"; posizioniamo quindi il mouse nel punto di intersezione e clicchiamo. Il metodo è assai poco accurato in quanto difficilmente si riesce a determinare la posizione esatta del punto di intersezione tra le rette solo guardando lo schermo. Un metodo accurato per determinare punti di intersezione tra oggetti consiste nell'aprire il menu "Costruzioni" e selezionare l'opzione "Punto di Intersezione". Dopo aver determinato il punto di intersezione tra le rette dal menu "Misure" selezioniamo il comando "Misura Angolo" e misuriamo quindi gli angoli adiacenti.

Come abbiamo sottolineato sopra se riusciamo a costruire un contro esempio del teorema precedente siamo in grado di affermare che lo stesso teorema non è valido in geometria iperbolica. Tuttavia nel caso in cui non si riesca a scoprire alcun contro esempio, in quanto o il teorema rimane vero o non siamo riusciti a trovare il contro esempio, la questione circa la validità o meno del teorema in ambito di geometria iperbolica rimane del tutto aperta!
 

NOTA: fai attenzione agli errori di arrotondamento!  Quando attraverso il comando "Misura Angolo"  si ottiene il valore 45.5° l'angolo potrebbe misurare anche 45.4817331°. In altri termini NonEuclid approssima alla prima cifra decimale.

2: Attività - Angoli

Cosa si intende per misura di un angolo iperbolico?
In modo del tutto analogo a quanto accade in geometria euclidea gli angoli iperbolici sono formati da due semirette iperboliche che hanno estremi coincidenti. Tuttavia per ampiezza di un angolo iperbolico, come ad esempio l'angolo BAC di figura, si intende la misura dell'angolo euclideo formato dalle rette euclidee AB' e AC' tangenti (in senso euclideo) in A rispettivamente agli archi AB e AC.

Misuriamo Angoli con NonEuclid:
Per misurare un angolo è sufficiente aprire il menu "Misure" e selezionare l'opzione "Misura Angolo".

Attività: l'enunciato seguente è valido in geometria euclidea. Vale anche in geometria iperbolica?

1. Angoli corrispondenti, formati da due rette parallele tagliate da una trasversale, sono uguali.

Definizione:     Un triangolo è una figura geometrica piana chiusa delimitata da tre segmenti.

Attività:     Nella lista che segue sono elencati alcuni teoremi sui triangoli validi in geometria euclidea. Quali di essi valgono anche in geometria iperbolica?

1. La somma degli angoli interni di un triangolo vale 180°.
2. In un triangolo il lato maggiore è sempre opposto all'angolo di ampiezza maggiore.
3. Le tre altezze di un triangolo si intersecano in un unico punto detto ortocentro. (Suggerimento:  per costruire l'altezza di un triangolo seleziona dal menu "Costruzioni" il comando "Perpendicolare". Clicca con il mouse sui due vertici che definiscono la base e quindi clicca nuovamente sul  rimanente vertice.)
4. Dato un triangolo la somma della lunghezza di due suoi lati è sempre maggiore della lunghezza del terzo lato.
5. Sia dato un triangolo ABC e si prolunghi il lato AB dalla parte di B, allora l'angolo esterno di vertice B è maggiore sia dell'angolo interno di vertice A sia dell'angolo interno di vertice C.
6. In un triangolo il prodotto "base per altezza" assume lo stesso valore indipendentemente dal lato di base scelto.

Definizione:     Un triangolo si dice isoscele se ha due lati di lunghezza uguale.

Attività:     Nella lista che segue sono elencati alcuni teoremi sui triangoli validi in geometria euclidea. Quali di essi valgono anche in geometria iperbolica?

E' possibile costruire un triangolo isoscele. (Suggerimento: per dimostrare questo teorema è sufficiente costruire un triangolo che soddisfi le richieste della definizione precedente ossia avente due lati di uguale lunghezza.)

1. Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono di ampiezza uguale.
2. L'altezza relativa alla base di un triangolo isoscele è mediana e bisettrice.

Definizione:     Un triangolo si dice equilatero se ha tutti i lati di lunghezza uguale.

Attività:     Nella lista che segue sono elencati alcuni teoremi sui triangoli validi in geometria euclidea. Quali di essi valgono anche in geometria iperbolica?

1. E' possibile costruire un triangolo equilatero.
2. Un triangolo equilatero è equiangolo (i suoi angoli interni hanno tutti la stessa ampiezza).
3. Ogni angolo interno di un triangolo equilatero misura 60°.

Definizione:     Un triangolo si dice rettangolo se ha un angolo retto (di ampiezza 90°).

Attività:     Nella lista che segue sono elencati alcuni teoremi sui triangoli validi in geometria euclidea. Quali di essi valgono anche in geometria iperbolica?

1. E' possibile costruire un triangolo rettangolo.
2. Teorema di Pitagora: dato un triangolo rettangolo la somma dei quadrati delle lunghezze dei cateti è uguale al quadrato della lunghezza dell'ipotenusa.

Definizione:     Due triangoli sono congruenti se esiste una corrispondenza tale che tre coppie di lati corrispondenti hanno lunghezze uguali e tre coppie di angoli corrispondenti hanno ampiezze uguali.

Attività:

1. Un buon modo di esplorare le proprietà dei triangoli congruenti è il seguente:

• Costruisci un triangolo.
• Costruisci una retta.
• Dal menu "Costruzioni" selezione l'opzione "Riflessione" per riflettere ciascun lato del triangolo attorno alla retta. Il nuovo triangolo ottenuto con questo procedimento è congruente al triangolo di partenza.  Dal momento che il triangolo ottenuto per riflessione si trova in una diversa parte del piano iperbolico la sua curvatura apparirà diversa rispetto al triangolo iniziale.
• Dal menu "Modifica" seleziona il comando "Muovi Punto" per spostare un vertice del triangolo di partenza o per spostare l'asse di riflessione. Automaticamente anche il triangolo ottenuto per riflessione si modificherà.
• Prova quindi ad eseguire in sequenza più riflessioni e a muovere un vertice del triangolo di partenza. In tal modo tutti i triangoli ottenuti nelle diverse riflessioni verranno animati.

1. I criteri di congruenza dei triangoli validi in geometria euclidea continuano a valere in geometria iperbolica?
2. In geometria euclidea il fatto che due triangoli abbiano angoli corrispondenti di uguale ampiezza o che abbiano due lati corrispondenti uguali e un angolo della stessa ampiezza non implica che i triangoli siano tra loro congruenti. E in geometria iperbolica?

Definizione:     Un quadrilatero è una figura piana chiusa delimitata da quattro segmenti. Più precisamente diremo che, dati quattro punti A, B, C e D giacenti nello stesso piano ma non allineati tra loro, se i segmenti AB, BC, CD e DA si intersecano solo nei loro punti estremi, allora la loro unione forma un quadrilatero.

Definizione:     Un rettangolo è un quadrilatero con quattro angoli di 90°.

Definizione:     Un quadrato è un rettangolo con quattro lati di lunghezza uguale.

Definizione:     Un quadrilatero si dice  regolare se i suoi lati hanno tutti la stessa lunghezza e se i suoi angoli hanno tutti la stessa ampiezza.

Attività:

1. In geometria iperbolica non esistono rettangoli e quindi, a maggior ragione, non esistono quadrati. In geometria iperbolica se un quadrilatero ha 3 angoli retti allora il terzo angolo deve essere acuto. Costruisci un esempio relativo a questa situazione.

Attività:      Nella lista che segue sono elencati alcuni teoremi sui triangoli validi in geometria euclidea. Quali di essi valgono anche in geometria iperbolica?

1. E' possibile costruire un quadrilatero regolare.
2. Tutti i quadrilateri regolari hanno quattro angoli retti.
3. In un quadrilatero regolare le due rette passanti per i punti medi dei lati opposti dividono il quadrilatero in quattro quadrilateri regolari.
4. Le diagonali di un quadrilatero regolare si intersecano.
5. Le diagonali di un quadrilatero regolare sono tra loro perpendicolari.

Definizione:     Un parallelogramma è un quadrilatero con lati opposti paralleli.

Attività:      Nella lista che segue sono elencati alcuni teoremi sui triangoli validi in geometria euclidea. Quali di essi valgono anche in geometria iperbolica?

1. E' possibile costruire un parallelogramma.
2. I lati opposti di un parallelogramma hanno la stessa lunghezza.
3. Gli angoli opposti di un parallelogramma hanno la stessa ampiezza.
4. Le diagonali di un parallelogramma si intersecano.

Definizione:     Un rombo è un quadrilatero con quattro lati aventi la stessa lunghezza.

Attività:      Nella lista che segue sono elencati alcuni teoremi sui triangoli validi in geometria euclidea. Quali di essi valgono anche in geometria iperbolica?

1. E' possibile costruire un rombo.
2. Gli angoli opposti di un rombo hanno la stessa ampiezza.
3. Le diagonali di un rombo si intersecano.
4. Le diagonali di un rombo sono perpendicolari.
5. Le diagonali di un rombo sono anche bisettrici.

Definizione:      Un poligono è una figura piana chiusa delimitata da tre o più segmenti.

Definizione:     Un poligono si dice regolare se  i suoi lati hanno tutti lunghezza uguale e se i suoi angoli hanno tutti la stessa ampiezza.

Attività:

1. Quali dei seguenti poligoni regolari si possono costruire con NonEuclid?

• triangolo equilatero ( 3 lati)
• quadrato                   ( 4 lati)
• pentagono                ( 5 lati)
• esagono                   ( 6 lati)
• ettagono                  ( 7 lati)
• ottagono                  ( 8 lati)
• ennagono                ( 9 lati)
• decagono                (10 lati)
• dodecagono            (12 lati)

1. In geometria euclidea un qualsiasi poligono si può inscrivere in un triangolo. Questa asserzione è talmente ovvia che difficilmente si trova nella forma di teorema. In geometria iperbolica ciò non è immediato. Prova a dire se l'asserzione è vera o falsa.
2. In geometria euclidea ogni poligono regolare è inscrivibile in una circonferenza. E in geometria iperbolica?
3. In geometria euclidea ogni poligono regolare è circoscrivibile ad una circonferenza. E in geometria iperbolica?

Definizione:     Una circonferenza è l'insieme di tutti i punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro.

Notiamo che "l'avere forma circolare" non entra nella definizione di circonferenza.  E' interessante notare che in geometria iperbolica le circonferenze mantengono sempre forma circolare.

Attività:

1. Costruisci una circonferenza e traccia 8 suoi raggi.
2. In geometria euclidea tre punti non allineati individuano una circonferenza.  E in geometria iperbolica? (Suggerimento: cerca un contro esempio ricordando la costruzione euclidea per circoscrivere un triangolo.)
3. In geometria euclidea il rapporto tra lunghezza di una circonferenza e lunghezza del suo diametro è pari a pigreco.  E in geometria iperbolica? (Suggerimento:  come in geometria euclidea la lunghezza della circonferenza si può calcolare come limite dei perimetri di una successione di poligoni regolari inscritti. Al crescere del numero dei lati dei poligoni il perimetro tenderà al valore della lunghezza della circonferenza).

Con il termine tassellazione si intende un qualsiasi ricoprimento del piano con figure geometriche congruenti, di uno o più tipi, che si sovrappongono tra loro al più sulla frontiera.

In geometria euclidea possiamo costruire una tassellazione utilizzando quadrati. Tuttavia non è possibile ottenere una tassellazione utilizzando cerchi.

Figure 9-13-1

L'artista olandese M.C. Escher [1902-1972] ha realizzato numerose interessanti tassellazioni. In Figura 9-13-2 è rappresentata una copia della litografia di Escher  "Rettili" che rappresenta una tassellazione del piano euclideo.  Escher ha lavorato anche con la geometria non euclidea. In particolare ricordiamo il ciclo di litografie dal titolo "Cerchio Limite" che rappresentano tassellazioni del piano iperbolico. In Figure 9-13-3 è rappresentata la litografia "Angeli e Diavoli". Gli angeli e i diavoli sono inscritti in triangoli congruenti (in senso iperbolico). I triangoli formano una tassellazione del piano iperbolico. Per approfondire i contenuti geometrici di questa litografia si rimanda a [Centomo-98].

Figure 9-13-2 e 9-13-3: Tassellazioni di M.C. Escher

Sai inventare una tassellazione del piano iperbolico?

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