
limites[(*)]; par conséquent la fonction Q que nous considérons, est
négative depuis y = 0 jusqu'à y = h; ce qu'il s'agissait de démontrer.

Maintenant, on tire des équations (1) et (2),

R = y^n/1.2.3...n F(c-a) + Q; (4)

la quantité Q étant négative, on aura donc

R < y^n/1.2.3...n F(c-a).

Si l'on eût supposé négative, la limite h des valeurs de y, il y aurait
eu deux cas à distinguer dans l'équation (3): selon que n serait un
nombre pair ou impair, dQ/dy aurait une valeur positive ou négative,
et, par suite, il en serait de même à l'égard de Q; l'inégalité qu'on
vient d'écrire, ne changerait donc pas dans le cas de n impair, et elle
se changerait en celle-ci:

R > y^n/1.2.3...n F(c-a),

dans le cas de n un nombre pair.

En désignant par b la valeur de y, qui répond à la plus petite
valeur de F(c-y), quand on y fait croître y depuis zéro jusqu'à h,
sans faire varier c, on trouvera, par un raisonnement semblable au
précédent,

R > y^n/1.2.3...n F(c-b),

quand h sera une quantité positive, ou bien quand n sera un nombre
impair, et, au contraire,

(*) Cette proposition est un cas particulier du théorème fondamental des intégrales
définies, d'après lequel une intégrale *a b Xdx exprime la somme de
toutes les valeurs de la différentielle Xdx, depuis x = a jusqu'à x = b, en
supposant que X soit une fonction de x, qui ne devient point infinie entre ces
limites. 
