% [** F1: F, Q, and R are bold on this and following pages]
%
limites\footnote%
{Cette proposition est un cas particulier du théorème fondamental des intégrales
définies, d'après lequel une intégrale $\displaystyle\int_a^b X\, dx$ exprime la somme de
toutes les valeurs de la différentielle $X\, dx$, depuis $x = a$ jusqu'à $x = b$, en
supposant que~$X$ soit une fonction de~$x$, qui ne devient point infinie entre ces
limites.}; % [** F1: End of footnote]
par conséquent la fonction~$Q$ que nous considérons, est
négative depuis $y = 0$ jusqu'à $y = h$; ce qu'il s'agissait de démontrer.

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Maintenant, on tire des équations $(1)$ et~$(2)$,
\[
R = \frac{y^n}{1\cdot 2\cdot 3\dotsm n} F(c-a) + Q;
\tag{4}
\]
la quantité~$Q$ étant négative, on aura donc
\[
R < \frac{y^n}{1\cdot 2\cdot 3\dotsm n} F(c-a).
\]
Si l'on eût supposé négative, la limite~$h$ des valeurs de~$y$, il y aurait
eu deux cas à distinguer dans l'équation~$(3)$: selon que $n$ serait un
nombre pair ou impair, $\dfrac{dQ}{dy}$ aurait une valeur positive ou négative,
et, par suite, il en serait de même à l'égard de~$Q$; l'inégalité qu'on
vient d'écrire, ne changerait donc pas dans le cas de $n$ impair, et elle
se changerait en celle-ci:
\[
R > \frac{y^n}{1\cdot 2\cdot 3\dotsm n} F(c-a),
\]
dans le cas de $n$ un nombre pair.

En désignant par~$b$ la valeur de~$y$, qui répond à la plus petite
valeur de $F(c-y)$, quand on y fait croître $y$ depuis zéro jusqu'à~$h$,
sans faire varier~$c$, on trouvera, par un raisonnement semblable au
précédent,
\[
R > \frac{y^n}{1\cdot 2\cdot 3\dotsm n} F(c-b),
\]
quand $h$ sera une quantité positive, ou bien quand $n$ sera un nombre
impair, et, au contraire,
